ARAŞTIRMA ÖDEVLERİ Fibonacci Dizisi

Fibonacci Kimdir?

Rönesans öncesi Avrupa'nın en büyük matematikçilerinden biri olarak kabul edilen Leonardo Fibonacci için “Matematik'i Araplardan alıp Avrupa'ya aktaran kişi” denilmektedir.

Fibonacci'nin yaşamı hakkında yazıları dışında pek az şey biliniyor. İlk ve en iyi bilinen kitabı Liner Abaci(Cebir Kitabı anlamına gelir)nin yazıldığı 1202 tarihine bakılırsa 1170 dolayında doğmuş olabileceği sanılıyor. Bu yönde pek kanıt olmamakla birlikte İtalya'nın Pisa kentinde doğmuş olması olasılığı var. Fibonacci henüz çocuk yaşındayken, Pisa'lı bir tüccar olan babası Pisa'lı tüccarların yaşadığı, Cezayir'de bulunan ve şimdiki adıyla Bejarya olan Kuzey Afrika limanına Konsül olarak atanır. Babası burada oğluna hesap öğretmesi için bir Arap hoca tutar. Fibonacci'nin Liber Abaci adlı kitabının yayınlandığı yıllarda, Hindu-Arap sayıları Avrupa'da birkaç aydın dışında bilinmiyordu. Fibonacci, kitabında bu rakamları şöyle anlatmaya başlar: “Dokuz Hint Rakamı 9 8 7 6 5 4 3 2 1 dir. Bu dokuz rakama “0” işaretinin de eklenmesiyle herhangi bir sayı yazılabilir.” Liber Abaci'de ilkokulda öğrendiğimiz temel matematik kurallarını birçok örnek vererek anlatmıştır. Bu kitap 13. yüzyıl Avrupa'sında büyük ilgi görür, çok sayıda kopya edilir ve kilisenin yasaklamasına karşın Arap sayıları İtalyan tüccarlar arasında yayılır. Kitap Kutsal Roma İmparatoru 2. Frederick'in dikkatini çeker. Frederick bilime düşkün bir imparatordur. Bilim adamlarını korur.1220 yılında Fibonacci huzura çağrılır. Frederick'in bilim adamlarından biri tarafından sınava çekilir. Sonunda Fibonacci göze girer. Yıllarca hem imparatorla hem de imparatorun dostlarıyla yazışır. 1225 yılında yazdığı Liber Quadratornum(Kare Sayıların Kitabı)u imparatora ithaf eder. Diyofantus Denklemleri'ne ayrılan bu kitap Fibonacci'nin baş yapıtıdır. Her ne kadar Liber Abaci'ye çok daha dar bir çevrenin ilgisini çekerse de kitap sayılar kuramına büyür katkı getirir. 1228'de Fibonacci, Liber Abaci'yi yeniden gözden geçirir. Bu tarihten 1240 yılına kadar Fibonacci hakkında hiçbir şey bilinmiyor. 1240'ta Pisa kenti kendisine kente yaptığı hizmetlerden dolayı “20 Pisa Lirası” yıllık bağlar. Bundan sonra matematikçi ne kadar yaşadı o da bilinmiyor. Leonardo Fibonacci, Arap Matematik'ini kullanışlı Hindu-Arap sayılarını Batı'ya tanıtmakla çok büyük bir katkıda bulundu. Çağımız matematikçileri Fibonacci'nin adını daha çok Liber Abaci'de yer alan bir problemde ortaya çıkan bir sayı dizisi nedeniyle bilirler.


Fibonacci Dizisi

Fibonacci Liner Abaci'de şöyle bir soru sormuştur:”Kapalı bir mekanda bir çift yavru tavşan(bir erkek ve bir dişi) var. Bir ay sonra bu yavrular erginleşiyor. Erginleşen her çift tavşan bir ay sonra bir çift yavru doğuruyor. Her yavru tavşan bir ay sonra erginleşiyor. Hiçbir tavşanın ölmediği ve her dişi tavşanın bir erkek, bir dişi yavru doğurduğunu varsayalım. Bir yıl sonra kaç tane tavşan olur?”

1) İlk ayın sonunda sadece bir çift var.

2) 2. ayın sonunda dişi bir çift yavru doğurur ve elimizde 2 çift tavşan var.

3) 3. ayın sonunda ilk dişimiz bir çift yavru doğurur, 3 çift tavşanımız olur

4) 4. ayın sonunda ilk dişimiz yeni bir çift yavru daha doğurur, iki ay önce doğan dişi de bir çift yavru doğurur ve 5 çift tavşanımız vardır.

Bu şekilde devam ederek şu diziyi elde ederiz: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…

Bu dizideki her sayı (ilk ikisi dışında) kendinden önce gelen iki sayının toplamına eşittir.


Fibonacci Sayıları ve Altın Oran

Fibonacci serisinin büyük elemanını küçük olana böldüğümüz zaman 1,6abc gibi bir oran çıkar. Bu orana altın oran denir.

Eğer bir bitkiyi dikkatle incelerseniz farkedersiniz ki, yapraklar hiç bir yaprak altaki yaprağı kapamayacak şekilde dizilmiştir. Bu da demektir ki, her bir yaprak güneş ışığın eşit bir şekilde paylaşıyor ve yağmur damlaları bitkinin her bir yaprağına değebiliyor.

Bir bitkinin sapındaki yaprakların, bir ağacın dallarının üzerinde hemen her zaman Fibonacici sayıları bulursunuz. Eğer yapraklardan biri başlangıç noktası olarak alınırsa ve bundan başlayarak, aşağıya ya da yukarıya doğru, başlangıç noktasının tam üstünde veya altında bir yaprak buluncaya kadar yapraklar sayılırsa bulunan yaprak sayısı farklı bitkiler için değişik olacaktır ama her zaman bir Fibonacci sayısıdır.

Mesela, üstteki resimde en baştaki dalı incelersek, başlangıç noktası olarak 1 numaralı yaprağı alırsak, kendisiyle aynı yönde bir başka yaprakla karşılaşabilmemiz için 3 defa saat yönünde bir dönüş yapmamız gerekir ve bu esnada 5 tane yaprak sayarız. Eğer bu dönüşü saat yönünün tersinde yaparsak 2 tane dönüş gerekecektir. Ve 2, 3, 5 ardışık fibonacci sayılarıdır.

Üstteki resimde yer alan dalı incelediğimizde ise 8 yaprak üstünden geçtiğimiz 5 tane saat yönünde dönüş yaparız. Saat yönünün ters istikametinde ise bu dönüş sayısı 3 olacaktır.

3, 5, 8 ise ardışık Fibonacci sayılarıdır.

Bunu en üsteki bitki için şöyle de yazabilirsiniz: 3/5 (Saat yönündeki dönüş başına yaprak sayısı)

Doğada yer alan ağaçlar için bu sayılar şöyle yazılabilir.

Karaağaç, Ihlamur Ağacı, Çimen : 1/2

Kayın Ağacı, Fındık Ağacı, Ayakotu, Böğürtlen :1/3

Meşe, Elma Ağacı, Kiraz Ağacı: 2/5

Kavak: 3/8

Badem, Pırasa: 5/13

Bir çok çiçeğin taç yaprak sayısı Fibonacci sayısıdır.

3 taç yapraklı bitkiler : Zambak, İris

5 taç yapraklı bitkiler: Düğünçiçeği, Yabani Gül, Hezaren Çiçeği

8 taç yapraklı bitkiler: Delphinium

13 taç yapraklı bitkiler: Kanaryaotu, Kadife Çiçeği, Cineraria

21 taç yapraklı bitkiler: Hindiba, Yıldız Çiçeği

34 taç yapraklı bitkiler: Bir çeşit Muz bitkisi, Pirekapan

55, 89 taç yapraklı bitkiler: Bir tür Papatya

Bitkiler:

Ayçiçegi : Ayçiçeğinin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru tane sayılarının birbirine oranı altın oranı verir.

Eğer şekildeki modelde, saat yönünde olan ve saat yönünün tersinde olan sarmalları sayarsanız, 21 ve 34 sayılarını elde edersiniz ki bu sayıların oranı altın orandır.

Papatya : Papatyada da ayçiçeginde olduğu gibi bir altın oran vardır.

Çam Kozalağı : Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru spiraller(eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte bu eğrinin eğrilik açısı altın orandır. Ve bu taneler soldan sağa ve sağdan sola sayıldığında çıkan sayılar, Fibonacci dizisinin ardışık terimleridir.

Tütün Bitkisi : Tütün bitkisinin yapraklarının dizilişinde bir eğrilik söz konusudur. Bu eğriliğin tanjantı altın orandır. Bu eğrilikten dolayı tütün bitkisi güneşten en iyi şekilde güneş ışığı ve havadan en iyi şekilde karbondioksit alarak fotosentezi mükemmel bir şekilde gerçekleştirir.

Eğrelti Otu : Tütün bitkisindeki özellik eğrelti otunda da vardır.

Bir kıvırcığın yapraklarında, bir ananasta, soğanın katmanları arasında da altın orana rastlayabiliriz.

Canlılar:

Ünlü mimar Le Corbusier'e göre insan vücudu da zengin bir altın oran kaynağıdır. Corbusier yukarı kaldırılmış kol ile ayaklar arasındaki uzaklıkta iki ayrı altın oran ileri sürer. Bunlardan birincisi yukarı kaldırılmış koldan normal duran kolun bileğine kadar olan uzaklık ile, normal koldan ayaklara kadar olan 86/140 ile gösterilen orandır. Diğer altın oran ise baş ve göbek arasındaki oran ile göbekten ayaklara olan 70/113 oranıdır.

İnsan Kafası : Bilindiği gibi her insanı kafasında bir ya da birden fazla saçın çıktığı düğüm noktası denilen bir nokta vardır. İşte bu noktadan çıkan saçlar doğrusal yani dik değil, bir spiral, bir eğri yaparak çıkmaktadır. İşte bu spiralin ya da eğrinin tanjantı yani eğrilik açısı bize altın oranı verecektir.

İnsan Vücudu :

Kollar : İnsan vücudunun bir parçası olan kolları dirsek iki bölüme ayırır: Büyük(üst) ve küçük(alt) bölüm olarak. Kolumuzun üst bölümünün alt bölüme oranı altın oranı vereceği gibi, kolumuzun tamamının üst bölüme oranı yine altın oranı verir.

Parmaklar : Parmaklarımızın üst boğumunun alt boğumuna oranı altın oranı vereceği gibi, parmağımızın tamamının üst boğuma oranı da yine altın oranı verir.

Salyangoz : Salyangozun kabuğu bir düzleme aktarılsa, bu düzlem bir dikdörtgen oluşturur. (Bu dikdörtgene altın dikdörtgen denir.) İşte bu dikdörtgenin boyunun enine oranı altın oranı verir.

Deniz Kabuğu : Deniz kabuğunun yapısı incelendiğinde bir eğrilik tespit edilmiş ve bu eğriliğin tanjantının altın oran olduğu görülmüştür.

Arılar : Erkek arılar döllenmemiş yumurtadan, dişi arılar ise döllenmiş yumurtadan ürerler. Bu veriden yola çıkarak bir kuşağın her cinsiyetten toplam sayılarını bulduğumuzda birbiri üzerine binen üç Fibonacci dizisinin tekrarlandığı görürüz.

Mimari:

Mısır Piramitleri : Her bir piramitin tabanının yüksekliğine oranı altın oranı veriyor.

Mimar Sinan : Mimar Sinan'ın da bir çok eserinde bir altın oran görülmektedir. Mesela Süleymaniye ve Selimiye Camilerinin minarelerinde bu oran görülmektedir.

Sanat:

Leonardo da Vinci : Mona Lisa ve Aziz Jerame tablolarının boylarının enlerine oranı altın oranı verir.

Picasso : Picasso da Leonardo da Vinci gibi resimlerinde bu oranı kullanmıştı.

Bunların dışında altın oran şuralarda da görülür:

Elektrik Devresi : Verilen n tane dirençten maksium verim elde etmek için bir paralel bağlama yapılması gerekir. Bu durumda eşdeğer direnç altın oran olur.

Otomotiv Sanayii : Göze hoş görünen otomobillerin kapısında, ön ve arka tamponlarında bir eğim vardır. İşte bu eğimin eğrilik açısı araştırılmış ve bunun altın oran olduğu görülmüştür.

Yorum Yaz
Arkadaşların Burada !
Arkadaşların Burada !